A curva de braquistócrona: 18 etapas (com fotos)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificação: 2024-01-30 11:36

A curva de braquistócrona é um problema de física clássico, que deriva o caminho mais rápido entre dois pontos A e B que estão em elevações diferentes. Embora esse problema possa parecer simples, ele oferece um resultado contra-intuitivo e, portanto, é fascinante de observar. Nestes instructables aprenderemos sobre o problema teórico, desenvolveremos a solução e finalmente construiremos um modelo que demonstra as propriedades deste surpreendente princípio da física.

Este projeto foi elaborado para estudantes do ensino médio, já que estão abordando conceitos relacionados nas aulas teóricas. Este projeto prático não apenas fortalece sua compreensão sobre o tema, mas também oferece uma síntese de vários outros campos a serem desenvolvidos. Por exemplo, durante a construção do modelo, os alunos aprenderão sobre óptica por meio da lei de Snell, programação de computadores, modelagem 3D, frabricação digital e habilidades básicas de marcenaria. Isso permite que uma turma inteira contribua dividindo o trabalho entre si, tornando-se um esforço de equipe. O tempo necessário para fazer este projeto é de cerca de uma semana e pode então ser demonstrado para a turma ou para os alunos mais novos.

Não há melhor maneira de aprender do que por meio do STEM, então prossiga para fazer seu próprio modelo de braquistócrona funcional. Se você gosta do projeto, vote nele no concurso em sala de aula.

Etapa 1: problema teórico

O problema da braquistócrona é aquele que gira em torno de encontrar uma curva que une dois pontos A e B que estão em elevações diferentes, de modo que B não esteja diretamente abaixo de A, de modo que a queda de uma bola de gude sob a influência de um campo gravitacional uniforme ao longo deste caminho irá alcance B no tempo mais rápido possível. O problema foi colocado por Johann Bernoulli em 1696.

Quando Johann Bernoulli questionou o problema da braquistócrona, em junho de 1696, aos leitores da Acta Eruditorum, uma das primeiras revistas científicas das terras de língua alemã da Europa, ele recebeu respostas de 5 matemáticos: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus e Guillaume de l'Hôpital, cada um com abordagens exclusivas!

Alerta: as etapas a seguir contêm a resposta e revelam a beleza desse caminho mais rápido. Reserve um momento para tentar pensar sobre esse problema, talvez você possa resolvê-lo como um desses cinco gênios.

Etapa 2: usando a lei de Snell para demonstrar

Uma das abordagens para resolver o problema da braquistócrona é atacar o problema fazendo analogias com a Lei de Snell. A Lei de Snell é usada para descrever o caminho que um feixe de luz seguiria para ir de um ponto a outro durante a transição por dois meios diferentes, usando o princípio de Fermat, que diz que um feixe de luz sempre seguirá o caminho mais rápido. Uma derivação formal desta equação pode ser encontrada visitando o seguinte link.

Uma vez que um objeto em queda livre sob a influência do campo gravitacional pode ser comparado a um feixe de luz em transição por meio de mudança, cada vez que o feixe de luz encontra um novo meio, o feixe é ligeiramente desviado. O ângulo desse desvio pode ser calculado usando a lei de Snell. À medida que se continua a adicionar camadas de densidades redutoras na frente do feixe de luz desviado, até que o feixe alcance o ângulo crítico, onde o feixe simplesmente é refletido, a trajetória do feixe descreve a curva de braquistócrona. (a curva vermelha no diagrama acima)

A curva de braquistócrona é na verdade um ciclóide que é a curva traçada por um ponto no aro de uma roda circular quando a roda gira ao longo de uma linha reta sem escorregar. Portanto, se precisarmos desenhar a curva, pode-se simplesmente usar o método acima para gerá-la. Outra propriedade única da curva é que uma bola lançada de qualquer ponto da curva levará exatamente o mesmo tempo para chegar ao fundo. As etapas a seguir descrevem o processo de fazer um experimento em sala de aula construindo um modelo.

Etapa 3: Modelo de experimento prático

O modelo consiste em caminhos cortados a laser que funcionam como trilhas para as bolinhas. Para demonstrar que a curva de braquistócrona é o caminho mais rápido do ponto A ao B, decidimos compará-la com dois outros caminhos. Como algumas pessoas intuitivamente sentiriam que a parte mais curta é a mais rápida, decidimos colocar uma inclinação reta conectando os dois pontos como o segundo caminho. A terceira é uma curva íngreme, pois seria de se esperar que a queda repentina geraria velocidade suficiente para vencer o resto.

O segundo experimento em que as bolas são lançadas de alturas diferentes em três caminhos de braquistócrona, resulta com as bolas alcançando ao mesmo tempo. Assim, nosso modelo possui guias impressos em 3D que proporcionam fácil intercambialidade entre os painéis de acrílico permitindo a realização de ambos os experimentos.

Finalmente, o mecanismo de liberação garante que as bolas caiam juntas e o módulo de cronometragem na parte inferior registra os cronômetros conforme as bolas atingem o fundo. Para conseguir isso, incorporamos três interruptores de limite que são ativados quando as bolas os acionam.

Nota: Pode-se simplesmente copiar este design e torná-lo de papelão ou outros materiais que estão facilmente disponíveis

Etapa 4: Materiais necessários

Aqui estão as peças e suprimentos para fazer um modelo de trabalho do experimento com braquistócrona

HARDWARE:

1 "Tábua de madeira de pinho - dimensões; 100 cm por 10 cm

Neodímio Magnetx 4 - dimensões; 1cm de diâmetro e 0,5cm de altura

Filamento de impressão 3D - PLA ou ABS são adequados

Inserto roscado M3 x 8 - (opcional)

Parafuso M3 x 8 - 2,5 cm de comprimento

Parafuso de madeira x 3 - 6 cm de comprimento

Parafuso de madeira x 12 - 2,5 cm de comprimento

ELETRÔNICOS:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- esses interruptores irão atuar como o sistema de cronometragem

Botão de apertar

Tela de LCD

Jumpwire x muitos

O custo total do modelo foi de cerca de 3 0 $

Etapa 5: Impressão 3D

Diversas peças, como o mecanismo de liberação e a caixa de controle, foram feitas com o auxílio de uma impressora 3d. A lista a seguir contém o número total de peças e suas especificações de impressão. Todos os arquivos STL são fornecidos em uma pasta anexada acima, permitindo fazer as modificações necessárias, se necessário.

Caixa de controle x 1, 20% de preenchimento

Guia x 6, enchimento de 30%

Fim da parada x 1, 20% de preenchimento

Braço pivô x 1, preenchimento de 20%

Montagem Pivô x 1, preenchimento de 30%

Peça de liberação x 1, enchimento de 20%

As peças foram impressas em PLA, uma vez que não há nenhuma tensão particular atuando nas peças. No total, demorou cerca de 40 horas de impressão.

Etapa 6: cortando os caminhos a laser

Os vários caminhos que projetamos no fusion 360 foram exportados como arquivos.dxf e depois cortados a laser. Escolhemos o acrílico branco opaco com espessura de 3mm para fazer as curvas. Pode-se até fazer de madeira com ferramentas manuais, mas é importante garantir que o material escolhido seja rígido, pois a flexibilidade pode afetar a forma como as bolas rolam.

6 x curva de braquistócrona

2 x curva íngreme

2 x curva reta

Etapa 7: Cortando a Madeira

A moldura do modelo é em madeira. Escolhemos pinheiros de 1 por 4 polegadas pois tínhamos alguns remanescentes de um projecto anterior, embora se possa usar uma madeira à sua escolha. Usando uma serra circular e uma guia cortamos duas peças de madeira de comprimento:

48cm que é o comprimento do caminho

31cm que é a altura

Limpamos as arestas lixando levemente na lixadeira de disco.

Etapa 8: Perfurando os furos

Antes de aparafusar as duas peças, marque a espessura da madeira em uma das extremidades da peça inferior e centre três orifícios equidistantes. Usamos uma broca de 5 mm para criar um orifício piloto em ambas as peças de madeira e escarear o orifício na peça inferior para permitir que a cabeça do parafuso fosse encaixada.

Nota: Tenha cuidado para não dividir a peça vertical de madeira, pois uma delas perfurará a fibra final. Use também parafusos de madeira compridos, pois é importante que a moldura e o tampo não balancem devido ao efeito de alavanca.

Etapa 9: Incorporando os dissipadores de calor e os ímãs

Como os fios das peças impressas em 3D tendem a se desgastar com o tempo, decidimos incorporar dissipadores de calor. Os orifícios são ligeiramente menores para permitir que o dissipador de calor adere melhor ao plástico. Colocamos dissipadores de calor M3 sobre os orifícios e os inserimos com a ponta de um ferro de solda. O calor derrete o plástico, permitindo que os dentes se encaixem. Certifique-se de que eles estejam alinhados com a superfície e tenham se encaixado perpendicularmente. No total, são 8 pontos para os insertos rosqueados: 4 para a tampa e 4 para montar o Arduino Uno.

Para facilitar a montagem da unidade de temporização, incorporamos ímãs na caixa, tornando-a fácil de destacá-la se houver necessidade de alterações. Os ímãs precisam orientar na mesma direção antes de serem empurrados no lugar.

Etapa 10: conectando as chaves limitadoras

Os três interruptores de limite são fixados em um lado da unidade de cronometragem voltado para a parte inferior dos caminhos. Assim, à medida que as bolas clicam nos interruptores, pode-se determinar qual bola alcançou primeiro e exibir o tempo em um display LCD. Solde pequenas tiras de arame nos terminais e prenda-os nos slots com um pouco de cola CA, pois eles não devem se soltar após batidas contínuas.

Etapa 11: Display LCD

A tampa da unidade de cronometragem possui um recorte retangular para a tela de lcd e um orifício para o botão "iniciar". Protegemos a tela com um pouco de cola quente até que ela fique nivelada com a superfície da tampa e fixamos o botão vermelho com sua porca de montagem.

Etapa 12: Fiação da Eletrônica

A fiação consiste em conectar os vários componentes aos pinos certos no Arduino. Siga o diagrama de fiação anexado acima para configurar a caixa.

Etapa 13: Carregando o código

O código do Arduino para o projeto de braquistócrona pode ser encontrado em anexo abaixo. Existem duas aberturas no compartimento eletrônico para fácil acesso à porta de programação do Arduino e ao conector de força.

O botão vermelho colocado na parte superior da caixa é usado para iniciar o cronômetro. Assim que as bolinhas rolam pelas curvas e acionam os interruptores de limite, que são colocados na parte inferior, os tempos são registrados sequencialmente. Após o acerto das três bolas, a tela LCD exibe os resultados, alinhados com as respectivas curvas (fotos anexadas acima). Depois de anotar os resultados, caso uma segunda leitura seja necessária, basta pressionar o botão principal novamente para atualizar o cronômetro e repetir o mesmo processo.

Etapa 14: os guias de impressão em 3D

As guias impressas em 3D tinham uma base de material de 3 mm antes do início das paredes de suporte. Portanto, quando os painéis de acrílico fossem colocados no lugar, haveria uma lacuna entre o painel e a moldura de madeira, diminuindo a estabilidade do caminho.

Portanto, a guia precisava ser embutida 3 mm na madeira. Como não tínhamos roteador, levamos para uma oficina local e fizemos uma fresadora. Depois de lixar um pouco as estampas se ajustaram bem e pudemos prendê-las com parafusos de madeira na lateral. Anexado acima está um gabarito para a colocação das 6 guias na moldura de madeira.

Etapa 15: Adicionar o tampão e a unidade de temporização

Como o módulo de temporização era um sistema separado, decidimos fazer um sistema de montagem e desmontagem rápida usando ímãs. Desta forma, pode-se programar facilmente simplesmente retirando a unidade. Em vez de fazer um molde para transferir a posição dos ímãs que precisam ser embutidos na madeira, simplesmente deixamos eles se conectarem aos da caixa e depois colocamos um pouco de cola e colocamos a caixa no pedaço de madeira. As marcas de cola foram transferidas para a madeira, permitindo-nos fazer furos rapidamente nos pontos precisos. Por fim, coloque a tampa impressa em 3D e a unidade de cronometragem deve se encaixar perfeitamente, mas ser capaz de se destacar com um leve puxão

Etapa 16: O mecanismo de liberação

O mecanismo de liberação é simples. Use uma porca e um parafuso para conectar firmemente a seção C ao braço pivô, tornando-os uma peça segura. Em seguida, faça dois furos no meio da madeira vertical e prenda o suporte. Deslize um eixo pivotante e o mecanismo estará completo.

Etapa 17: o experimento

Agora que o modelo está pronto, pode-se fazer os seguintes experimentos

Experimento 1

Deslize com cuidado os painéis de acrílico do caminho reto, da curva de braquistócrona e do caminho íngreme (nesta ordem para obter o melhor efeito). Em seguida, puxe a trava para cima e coloque as três bolas no topo da curva, certificando-se de que estejam perfeitamente alinhadas uma com a outra. Segure-os firmemente no lugar com a trava para baixo. Faça um aluno soltar as bolas e outro pressionar o botão vermelho para iniciar o sistema de cronometragem. Finalmente, observe as bolas rolando pelo caminho e analise os resultados exibidos no módulo de cronometragem. Configurar uma câmera para gravar imagens em câmera lenta é ainda mais emocionante, pois é possível ver a corrida quadro a quadro.

Experimento 2

Como no experimento anterior, deslize nos painéis de acrílico, mas desta vez todos os caminhos precisam ser a curva de braquistoncrona. Peça cuidadosamente a um aluno que segure as três bolas em elevações diferentes desta vez e aperte o botão vermelho quando as bolas forem lançadas. Observe o momento surpreendente enquanto as bolas se alinham perfeitamente antes da linha de chegada e confirme as observações com os resultados.

Etapa 18: Conclusão

A confecção do modelo de braquistócrona é uma maneira prática de ver as formas mágicas nas quais a ciência funciona. Os experimentos não são apenas divertidos e envolventes, mas também oferecem uma síntese dos aspectos de aprendizagem. Embora seja principalmente um projeto voltado para alunos do ensino médio, tanto prática quanto teoricamente, essa demonstração pode ser facilmente compreendida por crianças mais novas e pode ser mostrada como uma apresentação simplificada.

Gostaríamos de incentivar as pessoas a fazerem as coisas, seja um sucesso ou um fracasso, porque no final das contas STEM é sempre divertido! Feliz fabricação!

Deixe um voto no concurso de sala de aula se você gostou dos instructables e deixe seu feedback na seção de comentários.

Grande Prêmio no Concurso de Ciências da Sala de Aula