Gaussiana e parábola para estudar fluxos luminosos de LED de uma lâmpada experimental: 6 etapas

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificação: 2024-01-30 11:35

Olá a todos os fabricantes e à movimentada comunidade de Instructable.

Desta vez, a Merenel Research trará para você um problema de pesquisa pura e uma maneira de resolvê-lo com a matemática.

Eu mesmo tive esse problema enquanto calculava os fluxos de LED de uma lâmpada RGB que construí (e que vou ensinar a construir). Depois de pesquisar bastante online, não encontrei uma resposta, então aqui eu posto a solução.

O PROBLEMA

Muitas vezes, na física, temos que lidar com curvas que têm a forma da distribuição gaussiana. Sim! É a curva em forma de sino usada para calcular a probabilidade e nos foi trazida pelo grande matemático Gauss.

A curva de Gauss é amplamente utilizada em aplicações físicas da vida real, especialmente quando temos que lidar com radiação propagada de uma fonte ou recebida de um receptor, por exemplo:

- a emissão da potência de um sinal de rádio (por exemplo, o Wi-Fi);

- o fluxo luminoso emitido por um LED;

- a leitura de um fotodiodo.

Na ficha de dados do fabricante, costumamos receber o valor real da área do Gaussiano, que seria a potência radiante total ou fluxo luminoso em uma determinada parte do espectro (por exemplo, de um LED), mas torna-se difícil calcular a radiação real emitido no pico da curva ou ainda mais difícil saber a radiação sobreposta de duas fontes próximas, por exemplo, se estivermos iluminando com mais de um LED (por exemplo, azul e verde).

Neste artigo instrutível vou explicar como aproximar a gaussiana com uma curva de maneira mais fácil de entender: uma parábola. Vou responder à pergunta: quantas curvas gaussianas existem em uma parábola?

SPOILER → A RESPOSTA É:

A área gaussiana é sempre 1 unidade.

A área da parábola correspondente com a mesma base e altura é 2,13 vezes maior que a área Gaussiana relativa (veja a imagem para a demonstração gráfica).

Portanto, um gaussiano é 46,94% de sua parábola e essa relação é sempre verdadeira.

Estes dois números estão relacionados desta forma 0,46948 = 1 / 2,13, esta é a relação matemática estrita entre uma curva gaussiana e sua parábola e vice-versa.

Neste guia, vou levá-lo a descobrir isso passo a passo.

O único instrumento de que precisaremos é o Geogebra.org, uma ótima ferramenta matemática online para desenhar gráficos.

A carta Geogebra que fiz para comparar uma parábola com uma gaussiana pode ser encontrada neste link.

Esta instrução é longa porque se trata de uma demonstração, mas se você tiver que resolver rapidamente o mesmo problema que tive com fluxos luminosos de LED ou outro fenômeno com curvas gaussianas sobrepostas, pule para a planilha que encontrará anexada na etapa 5 deste guia, o que tornará sua vida mais fácil e fará automaticamente todos os cálculos para você.

Espero que você goste de matemática aplicada porque este instrutível é sobre isso.

Etapa 1: Compreendendo a luz emitida por um LED monocromático

Nesta análise, considerarei uma série de LEDs coloridos, como você pode ver claramente em seu gráfico de espectro (primeira imagem), sua distribuição de potência espectral realmente se parece com um Gaussiano que converge para o eixo x em -33 e + 33nm da média (fabricantes geralmente dá essa especificação). No entanto, considere que a representação deste gráfico normaliza todos os espectros em uma única unidade de energia, mas os LEDs têm energia diferente de acordo com a eficiência de fabricação e quanta corrente elétrica (mA) você alimenta neles.

Como você pode ver, às vezes, o fluxo luminoso de dois LEDs se sobrepõe ao espectro. Digamos que eu queira calcular facilmente a área de sobreposição dessas curvas, porque nessa área haverá o dobro da potência e eu quero saber quanta potência em tems de lúmen (lm) temos lá, bem, isso não é uma tarefa fácil que tentaremos responder neste guia. O problema surgiu porque, quando eu estava construindo a lâmpada experimental, eu realmente queria saber o quanto o espectro Azul e Verde estavam sobrepostos.

Vamos nos concentrar apenas nos LEDs monocromáticos, que são aqueles que emitem em uma parte estreita do espectro. No gráfico: AZUL REAL, AZUL, VERDE, VERMELHO-LARANJA, VERMELHO. (A lâmpada real que construo é RGB)

ANTECEDENTES DA FÍSICA

Vamos retroceder um pouco e fazer um pouco de explicação de física no início.

Todo LED tem uma cor, ou mais cientificamente diríamos que tem um comprimento de onda (λ) que o determina e que é medido em nanômetros (nm) e λ = 1 / f, onde f é a frequência de oscilação do fóton.

Então, o que chamamos de RED é basicamente um (grande) grupo de fótons que oscilam a 630 nm, esses fótons atingem a matéria e saltam em nossos olhos, que agem como receptores, e então seu cérebro processa a cor do objeto como RED; ou os fótons poderiam ir diretamente para seus olhos e você veria o LED que os emite brilhando na cor VERMELHA.

Foi descoberto que o que chamamos de luz é na verdade apenas uma pequena porção do espectro eletromagnético, entre 380nm e 740nm; então a luz é uma onda eletromagnética. O que é curioso nessa parte do espectro é que é precisamente a parte do espectro que passa mais facilmente pela água. Adivinha? Nossos ancestrais da Sopa Primordial estavam na água, e é na água onde os primeiros seres vivos, mais complexos, começaram a desenvolver olhos. Sugiro que você assista ao vídeo de Kurzgesagt que anexei para entender melhor o que é luz.

Para resumir, um LED emite luz, que é uma certa quantidade de potência radiométrica (mW) em um determinado comprimento de onda (nm).

Normalmente, quando se trata de luz visível, não falamos de potência radiométrica (mW), mas de fluxo luminoso (lm), que é uma unidade de medida ponderada na resposta à luz visível dos olhos humanos, deriva da candela unidade de medida, e é medida em lúmen (lm). Nesta apresentação, consideraremos os lumens emitidos em LEDs, mas tudo se aplicará a mW exatamente na mesma medida.

Em qualquer folha de dados de LED, o fabricante fornecerá estas informações:

Por exemplo, a partir desta folha de dados anexada, você verá que se você alimentar ambos os LEDs com 100mA, você terá isso:

BLUE está em 480nm e tem 11lm de fluxo luminoso;

GREEN tem 530nm e 35lm de fluxo luminoso.

Isso significa que a Curva Gaussiana do Azul será mais alta, irá se projetar mais, sem modificar sua largura e irá oscilar em torno da porção delimitada pela linha azul. Neste artigo irei explicar como calcular a altura da Gaussiana que expressa a potência de pico total emitida pelo LED, não apenas a potência emitida naquela parte do espectro, infelizmente esse valor será menor. Além disso, tentarei aproximar a parte sobreposta dos dois LEDs para entender quanto fluxo luminoso é sobreposto quando estamos lidando com LEDs que são "vizinhos" no espectro.

Medir o fluxo de LEDs é uma questão muito complexa. Se você está ansioso para saber mais, carreguei um artigo detalhado de Osram que explica como as coisas são feitas.

Etapa 2: Introdução à Parábola

Não vou entrar em muitos detalhes sobre o que é uma parábola, uma vez que é amplamente estudada na escola.

Uma equação de uma parábola pode ser escrita da seguinte forma:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARQUIMEDES AJUDA-NOS

O que eu gostaria de sublinhar é um importante teorema geométrico de Arquimedes. O que o teorema diz é que a área de uma parábola limitada em um retângulo é igual a 2/3 da área do retângulo. Na primeira foto com a parábola você pode ver que a área azul é 2/3 e as áreas rosa são 1/3 da área do retângulo.

Podemos calcular a parábola e sua equação conhecendo três pontos da parábola. No nosso caso, calcularemos o vértice e conheceremos as interseções com o eixo x. Por exemplo:

BLUE LED Vertex (480,?) O Y do vértice é igual à potência luminosa emitida no pico do comprimento de onda. Para calculá-lo usaremos a relação que existe entre a área de um Gaussiano (fluxo real emitido pelo LED) e a de uma parábola e usaremos o teorema de Arquimedes para saber a altura do retângulo que contém aquela parábola.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODELO PARABÓLICO

Olhando a foto que eu carreguei você pode ver um modelo complexo para representar com parábolas vários fluxos luminosos de LEDs diferentes, mas sabemos que sua representação não é exatamente assim, pois se assemelha mais a um Gaussiano.

No entanto, com as parábolas, usando fórmulas matemáticas, podemos encontrar todos os pontos de intersecção de várias parábolas e calcular as áreas de intersecção.

Na etapa 5, anexei uma planilha na qual coloquei todas as fórmulas para calcular todas as parábolas e suas áreas de interseção dos LEDs monocromáticos.

Normalmente, a base da Gaussiana de um LED é grande de 66 nm, então, se conhecermos o comprimento de onda dominante e aproximarmos a radiação do LED com uma parábola, sabemos que a parábola relativa cruzará o eixo x em λ + 33 e λ-33.

Este é um modelo que se aproxima de um LED total de luz emitida com parábola. Mas sabemos que, se quisermos ser precisos, não está exatamente certo, precisaríamos usar curvas de Gauss, o que nos leva à próxima etapa.

Etapa 3: Introdução à Curva Gaussiana

Um gaussiano é uma curva que soará mais complexa do que uma parábola. Foi inventado por Gauss para interpretar erros. Na verdade, esta curva é muito útil para ver a distribuição probabilística de um fenômeno. Na medida em que nos movemos para a esquerda ou direita da média, temos um certo fenômeno menos frequente e como você pode ver na última foto, esta curva é uma boa aproximação das ocorrências da vida real.

A fórmula gaussiana é a assustadora que você vê como uma segunda foto.

As propriedades gaussianas são:

- é simétrico em relação à média;

- x = μ não só coincide com a média aritmética, mas também com a mediana e a moda;

- é assintótico no eixo x em todos os lados;

- diminui para xμ;

- tem dois pontos de inflexão em x = μ-σ;

- a área sob a curva é de 1 unidade (sendo a probabilidade de que qualquer x verificaria)

σ é o desvio padrão, quanto maior o número, mais ampla é a base gaussiana (primeira imagem). Se um valor estiver na porção 3σ saberemos que ele realmente se afasta da média e há menos probabilidade de acontecer.

No nosso caso, com LEDs, sabemos a área do Gaussiano que é o fluxo luminoso fornecido na ficha do fabricante em um determinado pico de comprimento de onda (que é a média).

Etapa 4: Demonstração com Geogebra

Nesta seção, ensinarei como usar o Geogebra para demonstrar que uma parábola é 2,19 vezes seu Gaussiano.

Em primeiro lugar, você deve criar algumas variáveis, clicando no comando deslizante:

O desvio padrão σ = 0,1 (o desvio padrão define o quão ampla é a curva de Gauss, coloquei um valor pequeno porque queria torná-lo estreito para simular uma distribuição de potência espectral de LED)

A média é 0, então o Gaussiano é construído no eixo y, onde é mais fácil de trabalhar.

Clique na função de onda pequena para ativar a seção de função; lá clicando em fx você pode inserir a fórmula Gaussiana e você verá surgindo na tela uma bela curva Gaussiana alta.

Graficamente, você verá onde a curva converge no eixo x, no meu caso em X1 (-0,4; 0) e X2 (+0,4; 0) e onde o vértice está em V (0; 4).

Com este três pontos você tem informações suficientes para encontrar a equação da parábola. Se você não quiser fazer cálculos manualmente, sinta-se à vontade para usar este site ou a planilha na próxima etapa.

Use o comando de função (fx) para preencher a função de parábola que você acabou de encontrar:

y = -25x ^ 2 +4

Agora temos que entender quantos gaussianos estão em uma parábola.

Terá que usar o comando function e inserir o comando Integral (ou Integrale no meu caso, pois estava usando a versão italiana). A integral definida é a operação matemática que nos permite calcular a área de uma função definida entre ax valores. Se você não se lembra o que é uma integral definida, leia aqui.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Esta fórmula do Geogebra resolverá a integral definida entre -0,4 e +0,4 da função f, a Gaussiana. Como estamos lidando com um gaussiano, sua área é 1.

Faça o mesmo para a parábola e você descobrirá o número mágico 2.13. Qual é o número chave para fazer todas as conversões de fluxo luminoso com LEDs.

Etapa 5: Exemplo da vida real com LEDs: Calculando o pico do fluxo e os fluxos sobrepostos

FLUXO LUMINOSO NO PICO

É muito fácil calcular a altura real das curvas gaussianas agitadas da distribuição do fluxo do LED, agora que descobrimos o fator de conversão 2,19.

por exemplo:

LED AZUL tem 11lm de fluxo luminoso

- convertemos este fluxo de Gaussiano para parabólico 11 x 2,19 = 24,09

- usamos o Teorema de Arquimedes para calcular a área relativa do retângulo que contém a parábola 24,09 x 3/2 = 36,14

- encontramos a altura desse retângulo dividindo-se pela base do Gaussiano pelo LED AZUL, dada na folha de dados ou vista no gráfico da folha de dados, geralmente em torno de 66nm, e essa é a nossa potência no pico de 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

SOBREPOSIÇÃO DE ÁREAS DE FLUXO LUMINOSO

Para calcular duas radiações sobrepostas, explicarei com um exemplo com os dois LEDs a seguir:

BLUE está em 480nm e tem 11lm de fluxo luminosoGREEN está em 530nm e tem 35lm de fluxo luminoso

Sabemos e vemos no gráfico que ambas as curvas gaussianas convergem em -33nm e + 33nm, conseqüentemente sabemos que:

- AZUL cruza o eixo x em 447 nm e 531 nm

- VERDE cruza o eixo x em 497 nm e 563 nm

Vemos claramente que as duas curvas se cruzam já que uma extremidade da primeira está após o início da outra (531nm> 497nm), de modo que a luz desses dois LEDs se sobrepõe em alguns pontos.

Em primeiro lugar, temos que calcular a equação da parábola para ambos. A planilha em anexo está lá para ajudá-lo com os cálculos e incorporou as fórmulas para resolver o sistema de equações para determinar as duas parábolas, sabendo os pontos de intersecção do eixo x e o vértice:

Parábola AZUL: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0,4694050584x -112,1247327

PARábola VERDE: y = -0,001555793281x ^ 2 + 1,680256743x - 451,9750618

em ambos os casos a> 0 e, portanto, a parábola está apontando corretamente de cabeça para baixo.

Para provar que essas parábolas estão certas, basta preencher a, b, c na calculadora de vértices neste site de calculadora de parábolas.

Na planilha todos os cálculos já são feitos para encontrar os pontos de intersecção entre as parábolas e calcular a integral definida para obter as áreas de intersecção dessas parábolas.

Em nosso caso, as áreas de intersecção dos espectros de LED azul e verde é 0,4247.

Assim que tivermos as parábolas de interseção, podemos multiplicar essa área de interseção recém-fundada pelo multiplicador gaussiano 0,4694 e encontrar uma aproximação muito próxima de quanta potência os LEDs estão emitindo juntos no total nessa seção do espectro. Para encontrar o fluxo de LED único emitido nessa seção, divida por 2.

Etapa 6: O estudo dos LEDs monocromáticos da lâmpada experimental está concluído

Bem, muito obrigado por ler esta pesquisa. Espero que seja útil para você compreender profundamente como a luz é emitida por uma lâmpada.

Eu estava estudando os fluxos dos LEDs de uma lâmpada especial feita com três tipos de LEDs monocromáticos.

Os "ingredientes" para fazer esta lâmpada são:

- 3 LED BLU

- 4 LED VERDE

- 3 LED VERMELHO

- 3 resistores para limitar a corrente nas ramificações do circuito de LED

- Fonte de alimentação 12V 35W

- Capa de acrílico em relevo

- Controle OSRAM OT BLE DIM (unidade de controle LED Bluetooth)

- Dissipador de calor de alumínio

- Negritos e porcas M5 e suportes em L

Controle tudo com o APP Casambi do seu smartphone, você pode ligar e escurecer cada canal de LED separadamente.

Construir a lâmpada é muito simples:

- fixe o LED no dissipador com fita dupla-face;

- soldar todos os LEDs BLU em série com um resistor, e fazer o mesmo com a outra cor para cada ramal do circuito. De acordo com os LEDs que você vai escolher (usei LED Lumileds) você terá que escolher o tamanho do resistor em relação a quanta corrente vai alimentar o LED e a tensão total dada pela fonte de alimentação de 12V. Se você não sabe como fazer isso, sugiro que leia este grande instrutivo sobre como determinar o tamanho de um resistor para limitar a corrente de uma série de LEDs.

- conecte os fios a cada canal do Osram OT BLE: todos os principais positivos das ramificações dos LEDs vão para o comum (+) e os três negativos das ramificações vão respectivamente para -B (azul) -G (verde) -R (vermelho).

- Ligue a fonte de alimentação à entrada do Osram OT BLE.

Agora o que é legal no Osram OT BLE é que você pode criar cenários e programar os canais de LED, como podem ver na primeira parte do vídeo estou escurecendo os três canais e na segunda parte do vídeo estou usando alguns cenários de luz pré-fabricados.

CONCLUSÕES

Eu usei extensivamente a matemática para entender profundamente como os fluxos dessas lâmpadas se propagariam.

Eu realmente espero que você tenha aprendido algo útil hoje e farei o meu melhor para trazer a mais casos instrutíveis de pesquisa aplicada profunda como este.

A pesquisa é a chave!

Tanto tempo!

Pietro