Pêndulo Invertido: Teoria de Controle e Dinâmica: 17 Passos (com Imagens)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Última modificação: 2024-01-30 11:37

O pêndulo invertido é um problema clássico em dinâmica e teoria de controle que geralmente é elaborado em cursos de física ou matemática do ensino médio e graduação. Sendo eu mesmo um entusiasta de matemática e ciências, decidi tentar e implementar os conceitos que aprendi nas minhas aulas para construir um pêndulo invertido. A aplicação de tais conceitos na vida real não apenas ajuda a fortalecer sua compreensão dos conceitos, mas também o expõe a uma dimensão totalmente nova de problemas e desafios que lidam com a praticidade e situações da vida real que nunca se encontram nas aulas de teoria.

Neste instrutível, primeiro apresentarei o problema do pêndulo invertido, depois cobrirei o aspecto teórico do problema e, em seguida, discutirei o hardware e o software necessários para dar vida a esse conceito.

Eu sugiro que você assista ao vídeo que está anexado acima enquanto passa pelas instruções que lhe darão um melhor entendimento.

E, finalmente, não se esqueça de votar no 'Concurso de Ciências da Sala de Aula' se gostou deste projeto e sinta-se à vontade para deixar qualquer pergunta na seção de comentários abaixo. Feliz fabricação!:)

Etapa 1: o problema

O problema do pêndulo invertido é análogo a equilibrar uma vassoura ou uma vara comprida na palma da mão, algo que a maioria de nós já tentou quando era criança. Quando nossos olhos veem o poste caindo para um determinado lado, eles enviam essa informação para o cérebro que realiza certos cálculos e, em seguida, instrui seu braço a se mover para uma determinada posição com uma certa velocidade para contrariar o movimento do poste, o que esperançosamente traria o basculante de volta na vertical. Este processo é repetido várias centenas de vezes por segundo, o que mantém o pólo completamente sob seu controle. O pêndulo invertido funciona de maneira semelhante. O objetivo é equilibrar um pêndulo de cabeça para baixo em um carrinho que pode se mover. Em vez de olhos, um sensor é usado para detectar a posição do pêndulo, que envia as informações para um computador que realiza certos cálculos e instrui os atuadores a mover o carrinho de forma a tornar o pêndulo novamente vertical.

Etapa 2: a solução

Este problema de equilibrar um pêndulo de cabeça para baixo requer uma visão dos movimentos e forças que estão em jogo neste sistema. Eventualmente, esse insight nos permitirá chegar a "equações de movimento" do sistema que podem ser usadas para calcular as relações entre a saída que vai para os atuadores e as entradas que vêm dos sensores.

As equações de movimento podem ser derivadas de duas maneiras, dependendo do seu nível. Eles podem ser derivados usando as leis básicas de Newton e algumas matemáticas do ensino médio ou usando a mecânica Lagrangiana que é geralmente introduzida nos cursos de graduação em física. (Observação: derivar as equações do movimento usando as leis de Newton é simples, mas tedioso, enquanto usar a mecânica de Lagrange é muito mais elegante, mas requer o entendimento da mecânica de Lagrange, embora ambas as abordagens eventualmente levem à mesma solução).

Ambas as abordagens e suas derivações formais são geralmente abordadas nas aulas de ensino médio ou de graduação em matemática ou física, embora possam ser facilmente encontradas usando uma simples pesquisa no Google ou visitando este link. Observando as equações finais do movimento, notamos uma relação entre quatro quantidades:

• O ângulo do pêndulo com a vertical
• A velocidade angular do pêndulo
• A aceleração angular do pêndulo
• A aceleração linear do carrinho

Onde as três primeiras são quantidades que serão medidas pelo sensor e a última quantidade será enviada para o atuador realizar.

Etapa 3: Teoria de Controle

A teoria do controle é um subcampo da matemática que lida com o controle e a operação de sistemas dinâmicos em processos e máquinas projetados. O objetivo é desenvolver um modelo de controle ou uma malha de controle para geralmente alcançar a estabilidade. Em nosso caso, equilibre o pêndulo de cabeça para baixo.

Existem dois tipos principais de malhas de controle: controle de malha aberta e controle de malha fechada. Ao implementar um controle de malha aberta, a ação de controle ou o comando do controlador é independente da saída do sistema. Um bom exemplo disso é um forno, em que a quantidade de tempo que o forno permanece ligado depende puramente do cronômetro.

Enquanto em um sistema de malha fechada, o comando do controlador depende do feedback do estado do sistema. No nosso caso, o feedback é o ângulo do pêndulo em relação à normal que determina a velocidade e a posição do carrinho, tornando este sistema um sistema em malha fechada. Anexado acima está uma representação visual na forma de um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.

Existem várias técnicas de mecanismo de feedback, mas uma das mais amplamente utilizadas é o controlador proporcional-integral-derivativo (controlador PID), que é o que vamos usar.

Nota: Entender o funcionamento de tais controladores é muito útil no desenvolvimento de um controlador bem-sucedido, embora explicar as operações de tal controlador esteja além do escopo deste instrutível. Caso você não tenha encontrado esses tipos de controladores em seu curso, há um monte de material online e uma simples pesquisa no google ou um curso online ajudará.

Etapa 4: Implementando este projeto em sua sala de aula

Faixa Etária: Este projeto é principalmente para alunos do ensino médio ou de graduação, mas também pode ser apresentado a crianças mais novas simplesmente como uma demonstração, dando uma visão geral dos conceitos.

Conceitos cobertos: Os principais conceitos cobertos com este projeto são dinâmica e teoria de controle.

Tempo necessário: Uma vez que todas as peças são reunidas e fabricadas, a montagem leva de 10 a 15 minutos. A criação do modelo de controle requer mais algum tempo, para isso os alunos podem ter de 2 a 3 dias. Uma vez que cada aluno (ou grupos de alunos) tenha desenvolvido seus respectivos modelos de controle, outro dia pode ser usado para os indivíduos ou as equipes demonstrarem.

Uma maneira de implementar este projeto em sua sala de aula seria construir o sistema (descrito nas etapas a seguir), enquanto o lote está trabalhando nos subtópicos da física relacionados à dinâmica ou enquanto eles estão estudando sistemas de controle nas aulas de matemática. Dessa forma, as ideias e os conceitos que eles encontram durante a aula podem ser implementados diretamente em um aplicativo do mundo real, tornando seus conceitos muito mais claros, pois não há melhor maneira de aprender um novo conceito do que implementá-lo na vida real.

Um único sistema pode ser construído, juntos como uma classe e, em seguida, a classe pode ser dividida em equipes, cada uma construindo um modelo de controle do zero. Cada equipe pode então demonstrar seu trabalho em um formato de competição, onde o melhor modelo de controle é aquele que consegue equilibrar os mais longos e resistir a cutucadas e empurrões de forma robusta.

Outra forma de implementar este projeto em sua sala de aula seria criar crianças mais velhas (nível médio ou mais), desenvolver este projeto e demonstrá-lo para crianças mais novas, dando-lhes uma visão geral da dinâmica e dos controles. Isso pode não apenas despertar o interesse por física e matemática para as crianças mais novas, mas também ajudar os alunos mais velhos a cristalizar seus conceitos da teoria, porque uma das melhores maneiras de fortalecer seus conceitos é explicando-os a outras pessoas, especialmente às crianças mais novas, pois é necessário você a formular suas idéias de uma forma muito simples e clara.

Etapa 5: peças e suprimentos

O carrinho poderá se mover livremente em um conjunto de trilhos, dando a ele um único grau de liberdade. Aqui estão as peças e suprimentos necessários para fazer o pêndulo e o sistema de carrinhos e carrinhos:

Eletrônicos:

• Uma placa compatível com Arduino, qualquer funcionará. Eu recomendo um Uno caso você não tenha muita experiência com eletrônica porque será mais simples de acompanhar.
• Um motor de passo Nema17, que funcionará como atuador do carrinho.
• Um driver de motor de passo, mais uma vez, tudo funcionará, mas eu recomendo o driver de motor de passo A4988 porque será mais simples de seguir adiante.
• Um MPU-6050 Six-Axis (Gyro + Acelerômetro), que detectará os vários parâmetros, como ângulo e velocidade angular do pêndulo.
• Uma fonte de alimentação 12v 10A, 10A é na verdade um pequeno exagero para este projeto específico, qualquer coisa acima de 3A funcionará, mas ter a possibilidade de extrair corrente extra permite um desenvolvimento futuro onde mais energia pode ser necessária.

Hardware:

• 16 x rolamentos, usei rolamentos de skate e funcionaram muito bem
• 2 polias e correia GT2
• Cerca de 2,4 metros de tubo de PVC de 1,5 polegadas
• Grupo de porcas e parafusos de 4 mm

Algumas das peças que foram utilizadas neste projeto também foram impressas em 3D, portanto, ter uma impressora 3D será muito útil, embora recursos de impressão 3D locais ou online estejam comumente disponíveis.

O custo total de todas as peças é um pouco menos de 50 $ (excluindo a impressora 3D)

Etapa 6: peças impressas em 3D

Algumas das partes do carrinho e do sistema de trilhos tiveram que ser customizadas, então usei o Autodesk grátis para usar o Fusion360 para modelar os arquivos cad e imprimi-los em 3D em uma impressora 3D.

Algumas das peças que eram formas puramente 2D, como o pêndulo e a base do pórtico, foram cortadas a laser por serem muito mais rápidas. Todos os arquivos STL estão anexados abaixo na pasta compactada. Aqui está uma lista completa de todas as peças:

• 2 x rolo de pórtico
• 4 x tampas de extremidade
• 1 x suporte deslizante
• 2 x suporte de rolamento de polia ociosa
• 1 x suporte de pêndulo
• 2 x fixação de cinto
• 1 x suporte de rolamento de pêndulo (a)
• 1 x suporte de rolamento de pêndulo (b)
• 1 x espaçador do orifício da polia
• 4 x espaçador de furo de rolamento
• 1 x placa pórtico
• 1 x placa de suporte deslizante
• 1 x placa de suporte de polia ociosa
• 1 x pêndulo (a)
• 1 x pêndulo (b)

No total são 24 peças, que não demoram muito para imprimir, pois as peças são pequenas e podem ser impressas juntas. No decorrer deste instrutível, estarei me referindo às partes com base nos nomes desta lista.

Etapa 7: montagem dos roletes do pórtico

Os roletes do pórtico são como as rodas do carrinho. Eles rolarão ao longo da trilha de PVC, o que permitirá que o carrinho se mova suavemente com o mínimo de atrito. Para esta etapa, pegue os dois roletes do pórtico impressos em 3D, 12 rolamentos e um monte de porcas e parafusos. Você precisará de 6 rolamentos por rolo. Fixe os rolamentos ao rolo usando as porcas e parafusos (use as fotos como referência). Uma vez que cada rolo é feito, deslize-os sobre o tubo de PVC.

Etapa 8: Montagem do sistema de acionamento (motor de passo)

O carrinho será movido por um motor de passo Nema17 padrão. Prenda o motor no suporte de passo usando os parafusos que deveriam ter vindo como um conjunto com o passo. Em seguida, aparafuse o suporte na placa de suporte de passo, alinhe os 4 orifícios do suporte com os 4 da placa e use porcas e parafusos para prender os dois juntos. Em seguida, monte a polia GT2 no eixo do motor e prenda as 2 tampas de extremidade à placa de suporte do passo de baixo usando mais porcas e parafusos. Uma vez feito isso, você pode deslizar as tampas dos tubos. Caso o encaixe seja muito correto, em vez de forçar as tampas de extremidade nos tubos, recomendo lixar a superfície interna da tampa de extremidade impressa em 3D até que o encaixe fique firme.

Etapa 9: Montagem do sistema de acionamento (polia ociosa)

As porcas e parafusos que eu estava usando tinham 4 mm de diâmetro, embora os furos na polia e rolamentos fossem de 6 mm, por isso tive que imprimir adaptadores 3D e empurrá-los nos orifícios da polia e dos rolamentos para que não oscilação no parafuso. Se você tiver porcas e parafusos do tamanho certo, não precisará desta etapa.

Instale os rolamentos no suporte do rolamento da polia livre. Mais uma vez, se o ajuste for muito apertado, use uma lixa para lixar levemente a parede interna do suporte do rolamento da polia livre. Passe um parafuso por um dos rolamentos, deslize uma polia no parafuso e feche a outra extremidade com o segundo rolamento e conjunto de suporte de rolamento da polia livre.

Depois de fazer isso, prenda o par de suportes de rolamento da polia livre na placa do suporte da polia livre e fixe as tampas de extremidade na face inferior desta placa, semelhante à etapa anterior. Finalmente, tampe a extremidade oposta dos dois tubos de PVC usando essas tampas. Com isso, os trilhos do seu carrinho estão completos.

Etapa 10: montagem do pórtico

A próxima etapa é construir o carrinho. Fixe os dois rolos juntos usando a placa do gantry e 4 porcas e parafusos. As placas do gantry têm ranhuras para que você possa ajustar a posição da placa para pequenos ajustes.

Em seguida, monte os dois acessórios da correia em ambos os lados da placa do pórtico. Certifique-se de prendê-los por baixo, caso contrário, a correia não ficará no mesmo nível. Certifique-se também de passar os parafusos pela parte inferior, pois caso contrário, se os parafusos forem muito compridos podem causar obstrução da correia.

Por último, prenda o suporte do pêndulo à frente do carrinho usando porcas e parafusos.

Etapa 11: Montagem do pêndulo

O pêndulo foi feito em duas peças simplesmente para economizar material. Você pode colar as duas peças alinhando os dentes e colando-os com cola. Empurre novamente os espaçadores dos orifícios do rolamento nos dois rolamentos para compensar os diâmetros menores dos parafusos e, em seguida, empurre os rolamentos nos orifícios dos rolamentos das duas peças do suporte do rolamento do pêndulo. Prenda as duas peças impressas em 3D em cada lado da extremidade inferior do pêndulo e prenda as 3 juntas usando 3 porcas e parafusos que passam pelos suportes de rolamento do pêndulo. Passe um parafuso pelos dois rolamentos e prenda a outra extremidade com uma porca correspondente.

Em seguida, pegue seu MPU6050 e prenda-o na extremidade oposta do pêndulo usando parafusos de montagem.

Etapa 12: Montagem do pêndulo e correias

A etapa final é montar o pêndulo no carrinho. Faça isso passando o parafuso que você havia passado anteriormente pelos dois rolamentos do pêndulo, através do orifício no suporte do pêndulo que está preso à frente do carrinho e use uma porca na outra extremidade para prender o pêndulo no carrinho.

Por fim, pegue seu cinto GT2 e prenda primeiro uma extremidade em um dos acessórios do cinto que está preso ao carrinho. Para isso, usei um belo clipe de cinto 3D imprimível que se prende à extremidade do cinto e evita que ele escorregue pela fenda estreita. As stls para esta peça podem ser encontradas no Thingiverse usando este link. Enrole a correia ao redor da polia de passo e da polia livre e prenda a outra extremidade da correia à peça de fixação da correia na extremidade oposta do carrinho. Tensione o cinto, certificando-se de não apertar muito ou deixá-lo muito frouxo e com isso seu pêndulo e carrinho estão completos!

Etapa 13: Fiação e eletrônicos

A fiação consiste em conectar o MPU6050 ao Arduino e a fiação do sistema de acionamento. Siga o diagrama de fiação anexado acima para conectar cada componente.

MPU6050 para Arduino:

• GND para GND
• + 5v a + 5v
• SDA para A4
• SCL para A5
• Int para D2

Motor de passo para driver de passo:

• Bobina 1 (a) a 1A
• Bobina 1 (b) a 1B
• Bobina 2 (a) a 2A
• Bobina 2 (b) a 2B

Driver de passo para Arduino:

• GND para GND
• VDD a + 5v
• STEP para D3
• DIR para D2
• VMOT para terminal positivo da fonte de alimentação
• GND para o terminal de aterramento da fonte de alimentação

Os pinos Sleep e Reset no driver de passo precisam ser conectados com um jumper. E, finalmente, é uma boa ideia conectar um capacitor eletrolítico de cerca de 100 uF em paralelo com os terminais positivo e terra da fonte de alimentação.

Etapa 14: Controle do sistema (controle proporcional)

Inicialmente, resolvi experimentar um sistema básico de controle proporcional, ou seja, a velocidade do carrinho é simplesmente proporcional por um determinado fator ao ângulo que o pêndulo faz com a vertical. Isso foi feito para ser simplesmente um teste para garantir que todas as partes funcionassem corretamente. Embora, este sistema proporcional básico fosse robusto o suficiente para fazer o pêndulo já se equilibrar. O pêndulo pode até mesmo conter empurrões e cutucões suaves de maneira bastante robusta. Embora esse sistema de controle funcionasse muito bem, ainda apresentava alguns problemas. Se observarmos o gráfico das leituras da IMU ao longo de um determinado tempo, podemos notar claramente as oscilações nas leituras do sensor. Isso implica que sempre que o controlador tenta fazer uma correção, está sempre ultrapassando um determinado valor, o que é, de fato, a própria natureza de um sistema de controle proporcional. Este pequeno erro pode ser corrigido implementando um tipo diferente de controlador que leve em consideração todos esses fatores.

O código para o sistema de controle proporcional está anexado abaixo. O código requer o suporte de algumas bibliotecas adicionais que são a biblioteca MPU6050, a biblioteca PID e a biblioteca AccelStepper. Eles podem ser baixados usando o gerenciador de biblioteca integrado do IDE do Arduino. Basta ir para Sketch >> Incluir Biblioteca >> Gerenciar Bibliotecas, e então pesquisar PID, MPU6050 e AccelStepper na barra de pesquisa e instalá-los clicando no botão Instalar.

Embora, meu conselho para todos vocês que são entusiastas da ciência e da matemática, seria tentar construir um controlador desse tipo do zero. Isso não apenas fortalecerá seus conceitos sobre as teorias de dinâmica e controle, mas também lhe dará a oportunidade de implementar seu conhecimento em aplicações da vida real.

Etapa 15: Controlando o Sistema (Controle PID)

Geralmente, na vida real, uma vez que um sistema de controle prova ser robusto o suficiente para sua aplicação, os engenheiros normalmente apenas concluem o projeto ao invés de complicar as situações usando sistemas de controle mais complexos. Mas, em nosso caso, estamos construindo esse pêndulo invertido exclusivamente para fins educacionais. Portanto, podemos tentar progredir para sistemas de controle mais complexos, como o controle PID, que pode provar ser muito mais robusto do que um sistema de controle proporcional básico.

Embora o controle PID fosse muito mais complexo de implementar, uma vez implementado corretamente e encontrando os parâmetros de ajuste perfeitos, o pêndulo se equilibrou significativamente melhor. Neste ponto, ele também pode conter choques de luz. As leituras do IMU ao longo de um determinado tempo (anexo acima) também comprovam que as leituras nunca vão muito longe do setpoint desejado, ou seja, o vertical, demonstrando que este sistema de controle é muito mais eficaz e robusto do que o controle proporcional básico.

Mais uma vez, meu conselho para todos vocês que são entusiastas da ciência e da matemática, seria tentar construir um controlador PID do zero antes de usar o código que está anexado abaixo. Isso pode ser visto como um desafio, e nunca se sabe, alguém poderia criar um sistema de controle muito mais robusto do que qualquer coisa que tenha sido tentada até agora. Embora uma biblioteca PID robusta já esteja disponível para Arduino, que foi desenvolvida por Brett Beauregard, ela pode ser instalada a partir do gerenciador de biblioteca no IDE do Arduino.

Nota: Cada sistema de controle e seu resultado são demonstrados no vídeo que é anexado na primeira etapa.

Etapa 16: Outras melhorias

Uma das coisas que eu queria tentar era uma função de "balanço para cima", em que o pêndulo fica inicialmente pendurado abaixo do carrinho e o carrinho faz alguns movimentos rápidos para cima e para baixo ao longo do trilho para levantar o pêndulo de uma suspensão posição para uma posição invertida de cabeça para baixo. Mas isso não era possível com a configuração atual porque um cabo longo tinha que conectar a unidade de medição inercial ao Arduino, portanto, um círculo completo feito pelo pêndulo pode ter feito o cabo torcer e prender. Esse problema pode ser resolvido usando um codificador rotativo conectado ao pivô do pêndulo, em vez de uma unidade de medição inercial na ponta dele. Com um codificador, seu eixo é a única coisa que gira com o pêndulo, enquanto o corpo permanece estacionário, o que significa que os cabos não se torcerão.

Um segundo recurso que eu queria tentar era equilibrar um pêndulo duplo no carrinho. Este sistema consiste em dois pêndulos conectados um após o outro. Embora a dinâmica de tais sistemas seja muito mais complexa e exija muito mais pesquisas.

Etapa 17: resultados finais

Um experimento como esse pode transformar o humor de uma classe de maneira positiva. Geralmente, a maioria das pessoas prefere poder aplicar conceitos e ideias para cristalizá-los, caso contrário, as ideias ficam "no ar" o que faz com que as pessoas tendam a esquecê-las mais rapidamente. Este foi apenas um exemplo de aplicação de certos conceitos aprendidos durante a aula em uma aplicação do mundo real, embora isso certamente desperte o entusiasmo dos alunos para eventualmente tentarem criar seus próprios experimentos para testar as teorias, o que tornará suas aulas futuras muito mais animada, o que os fará querer aprender mais, o que os levará a criar novos experimentos e este ciclo positivo continuará até que as futuras salas de aula estejam repletas de experimentos e projetos divertidos e agradáveis.

Espero que este seja o início de muitos mais experimentos e projetos! Se você gostou deste instrutível e achou útil, por favor, vote abaixo no "Concurso de Ciências da Sala de Aula" e quaisquer comentários ou sugestões são bem-vindos! Obrigado!:)

Vice-campeão no Concurso de Ciências da Sala de Aula